MATTIA BONZI

STUDENTE DI GRAFICA E COMUNICAZIONE

ASPIRANTE WEB-DESIGNER

Mattia.bonzi@itsosmilano.com

Crescente: X1,  X2

LE FUNZIONI

 

 

 

 

 

Definizione di funzione

 

Dati due insieme A e B, si dice funzione una legge che associa ad ogni elemento dell'insieme A uno ed un solo elemento dell'insieme B.

Una funzione si indica con

 

X è un elemento generico dell’insieme di partenza (A), chiamato dominino.

Y è l’immagine di X, elemento dell’insieme di arrivo (B) chiamato codominio.

 

Una funzione può essere rappresentata tramite un grafico sul piano cartesiano, per essere facilmente e più velocemente identificata.

Si costruisce con ottenendo coppie ordinate di valori (elementi dominio e rispettiva immagine).

 

 

“y= ƒ(x)”.

Il dominio é considerato come il campo di esistenza, ovvero l’insieme di tutti quei numeri per cui la funzione è definita.

 

Se nella funzione è presente:

 

  • Una frazione, poniamo il denominatore diverso da zero
  • Un logaritmo, poniamo l’argomento maggiore di zero
  • Una radice con indice pari
  • Un arcoseno o arcocoseno, poniamo l’argomento compreso tra -1 e 1.

 

I tipi di funzione

Iniettiva

Ad ogni elemento di B corrisponde ad un preciso elemento di A.

 

 

Surriettiva

 

Ogni elemento dell’insieme B è immagine di almeno un elemento di A.

 

 

Biunivoca o biettiva

 

E’ sia iniettiva che suriettiva, ad ogni elemento dell’insieme A ne corrisponde uno e uno solo di B, e viceversa.

E’ possibile ricavare la funzione inversa.

 

 

ƒ-1.
x= ƒ(y).

Funzione inversa

 

Per ogni funzione biettiva è possibile ottenere la funzione inversa.

Si descrive come

E’ la funzione opposta a quella data.

Per ottenerla bisogna scrivere la funzione in forma

 

 

 

Funzioni crescenti o decrescenti

 

Una funzione si dice crescente quando assume valori crescenti al crescere dell’ascissa.

Al contrario è decrescente se assume valori decrescenti al crescere dell’ascissa.

La proprietà che descrive l’andamento crescente o decrescente di una funzione si chiama:  Monotonia.

 

 

 

Diciamo che una funzione                          è:

 

Crescente se:

 

Decrescente se:

 

E’ possibile stabilire la monotonia di una funzione anche in “locale” isolando quindi la parte di funzione che ci interessa.

 

 

per ogni X1, X2 ∈ Dom(ƒ) tali che X1 ≤ X2 risulta che ƒ( X1) ≤ ƒ(X2).
per ogni X1, X2 ∈ Dom(ƒ) tali che X1 ≤ X2 risulta che ƒ( X1) ≥ ƒ(X2).
ƒ ∈ R, y = ƒ (x)

Si dice quindi che, una funzione                         se consideriamo l’intervallo                  è:

 

Crescente se:

 

Decrescente se:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Funzioni periodiche

 

Si definiscono periodiche tutte quelle funzioni che ripetono il loro comportamento periodicamente per tutto il dominio della funzione.

 

 

ƒ ∈ R, y = ƒ (x)
I ∈ Dom(ƒ)
per ogni X1, X2 ∈ I tali che X1 ≤ X2 risulta che ƒ( X1) ≤ ƒ(X2).
per ogni X1, X2 ∈ I tali che X1 ≤ X2 risulta che ƒ( X1) ≥ ƒ(X2).

La classificazione delle funzioni

INTERE

INTERE

FRATTE

FRATTE

RAZIONALI

La variabile indipendente NON si trova sotto radice

IRRAZIONALI

La variabile indipendente si

 trova sotto radice

ESPONENZIALI

La variabile X compare come esponente di una potenza

LOGARITMICHE

la variabile X compare come argomento di un logaritmo.

GONIOMETRICHE

compaiono seno, coseno, tangente etc...

FUNZIONI

TRASCENDENTI

Compaiono le operazioni non algebriche.

ALGEBRICHE

Compaiono le operazioni algebriche  (4 operazioni fondamentali, l’elevamento a potenza, l’estrazione di radice).

LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

 

La circonferenza goniometria

 

La circonferenza goniometrica è una circonferenza con raggio 1, centrata nell’origine del piano cartesiano.

Con questa circonferenza è possibile misurare l’ampiezza di qualsiasi angolo, esprimendola in radianti.

I radianti sono espressi dal rapporto a=l/r, ed è una sezione della circonferenza goniometria (di raggio 1) e quindi si esprimono in relazione al P Greco (   ).

 

Sapendo che i radianti corrispondo al segmento di circonferenza descritto dall’angolo, possiamo ricavare le misure degli angoli in radianti partendo dall’angolo giro.

L’angolo giro (360°) descrive l’intera circonferenza ed è equivalente quindi di

L’angolo piatto (180°) è quindi

L’angolo retto (90°) è

 

 

π.
π/2.
2π.
π

L’angolo orientato

 

Un angolo può anche essere maggiore di un angolo giro, in quanto ha compiuto una rotazione.

Si parla di angolo orientato nel momento in cui definiamo uno dei lati come, lato di origine e specifichiamo il verso della rotazione.

L’angolo orientato si dice positivo quando ruota in senso antiorario, negativo se ruota in senso orario.

E’ possibile scrivere gli angoli orientati in forma sintetica, il che vuol dire indicare l’ampiezza dell’angolo e il numero di rotazioni che ha effettuato, nella forma:

 

 

 

α + k2π

Seno e coseno

 

Seno e coseno sono due rapporti che associano ad ogni angolo   , il rispettivo punto intercettato sulla circonferenza.

Sono le uniche funzioni goniometriche che non vengono descritte mediante l’uso di altre funzioni, ma ricavate direttamente dalla circonferenza goniometria.

 

α

Considerando il triangolo OBC (in figura) si dice seno dell’angolo    il rapporto tra il cateto opposto (BC) e l’ipotenusa del triangolo (OB).

Avendo la circonferenza goniometria raggio=1 si ottiene che il seno di    è uguale al segmento (BC).

Quindi  Seno=BC

 

Si dice coseno il rapporto tra il cateto adiacente (OC) e l’ipotenusa (OB).

Quindi Coseno= OC

 

 

I grafici delle funzioni seno e coseno

 

Essendo seno e coseno funzioni periodiche (il cui periodo è     ) i valori si ripetono ogni volta che viene completato un giro, il loro grafico è rappresentato da sinusoide e cosinusoide (grafici che, nel mondo reale, descrivono le onde).

 

Seno

y= sen x

 

 

α
α

Coseno

y= cos x

 

#15

Tangente e cotangente

 

Tangente e cotangente sono due funzioni goniometriche descritte a partire da seno e coseno.

 

La tangente è il rapporto tra seno e coseno.

 

La cotangente è il reciproco della tangente e quindi:

 

 

Queste due funzioni non possono essere definite per qualsiasi angolo, laddove sen(  ) o cos(  ) assumono valori pari a zero, non sarà possibile calcolarle, in quanto non è possibile dividere per zero.

 

I grafici delle funzioni tangente e cotangente

 

Tangente

y= tg x

 

α
α

Cotangente

y= cotg x

 

 

Secante e cosecante

 

La funzione secante (   ) associa ad    il valore reciproco di coseno    .

La funzione cosecante (   ) associa ad    il valore reciproco di seno    .

 

Sono funzioni periodiche di periodo      e pari.

 

La secante

 

 

α
α
α
α

La cosecante

Principali funzioni degli angoli particolari

Le relazioni fondamentali

 

Prima relazione fondamentale

 

 

Da cui si ricava

 

 

 

e

 

 

 

 

 

Seconda relazione fondamentale

 

 

Da cui si ricava

 

 

 

e

 

 

Cos2α + Sen2α
Tg(α) = Sen(α)/Cos(α)
Sen(α) = Tg(α) × Cos(α)
Cos(α) = Tg(α) × Sen(α)
Cos(α) = ± √ 1 - Sen2α
Sen(α) = ± √ 1 - Cos2α

Angoli associati

 

Considerando un angolo   , chiamiamo angoli associati i seguenti angoli:

-&#945 <br />

&#960/2 - &#945 <br />

&#960/2 + &#945<br />

&#960 - &#945<br />

&#960 + &#945<br />

3/2&#960 - &#945<br />

3/2&#960 + &#945<br />

2&#960 - &#945<br />

 

E’ possibile determinare seno, coseno, tangente e cotangente degli angoli associati, in funzione di seno, coseno, tangente e cotangente di

 

Angoli opposti [&#94 e angoli esplementari

 

Seno= - sen &#945<br />

Coseno= cos &#945<br />

Tangente= - tg &#945<br />

Cotangente= - cotg &#945<br />

 

Angoli supplementari

 

Seno=  sen &#945<br />

Coseno= - cos &#945<br />

Tangente= - tg &#945<br />

Cotangente= - cotg &#945<br />

 

Angoli che differiscono di un angolo piatto

 

Seno= - sen &#945<br />

Coseno= - cos &#945<br />

Tangente= tg &#945<br />

Cotangente= cotg &#945<br />

 

Angoli complementari

 

Seno=  cos &#945<br />

Coseno= sen &#945<br />

Tangente= cotg &#945<br />

Cotangente= tg &#945<br />

 

Angoli che differiscono di un angolo retto

 

no= cos &#945<br />

Coseno= - sen &#945<br />

Tangente= - cotg &#945<br />

Cotangente= - tg &#945<br />

 

Angoli la cui somma è

 

Seno= - cos &#945<br />

Coseno= - sen &#945<br />

Tangente= cotg &#945<br />

Cotangente= tg &#945<br />

 

Angoli la cui differenza è

 

 

  • π/2 - α
  • π/2 + α
  • π - α
  • π + α
  • 3/2π - α
  • 3/2π + α
  • 2π - α
Seno= - sen α
Coseno= cos α
Tangente= - tg α
Cotangente= - cotg α
Seno= sen α
Coseno= - cos α
Tangente= - tg α
Cotangente= - cotg α
Seno= - sen α
Coseno= - cos α
Tangente= tg α
Cotangente= cotg α
Seno= cos α
Coseno= sen α
Tangente= cotg α
Cotangente= tg α
Seno= cos α
Coseno= - sen α
Tangente= - cotg α
Cotangente= - tg α
Seno= - cos α
Coseno= - sen α
Tangente= cotg α
Cotangente= tg α
Seno= - cos α
Coseno= sen α
Tangente= -cotg α
Cotangente= -tg α
α.
[α e -α]
[α e 2π - α]
[α e π - α]
[α e π + α]
[α e π/2 - α]
[α e π/2 + α]
3/2π [α e 3/2π - α]
3/2π [α e 3/2π + α]
α

Equazioni goniometriche elementari

 

Per risolvere le equazioni goniometriche elementari bisogna fare riferimento al concetto degli archi associati.

Sapendo le funzioni degli angoli particolari nel primo quadrante si stabiliscono i valori per gli altri angoli.

 

 

 

 

Seno e coseno:

 

E’ impossibile se cos x= y e -1>y>1.

 

Se è determinata si procede:

 

  • Trasportare l’eventuale numero da sinistra a destra dell’uguale.
  • Verificare quale angolo ha il seno ( o il coseno) pari a          (pari al valore presente nell’esercizio).
  • Disegnare la circonferenza goniometria (passaggio non essenziale per la risoluzione, utile nelle disequazioni)
√ 3/2
  • Sapendo che l’angolo è       si verifica il secondo angolo con la regola degli archi associati (          )
2π - α
π/3
  • Scrivere i risultati in forma:
x=…+2kπ e x=...+2kπ

Tangente e cotangente

E’ sempre determinata e si procede:

 

  • Trasportare l’eventuale numero da sinistra a destra dell’uguale.
  • Verificare quale angolo ha la tangente ( o il coseno) pari a 1 (pari al valore presente nell’esercizio).
  • Disegnare la circonferenza goniometria (passaggio non essenziale per la risoluzione)
  • Scrivere la soluzione nella forma:
x=…+kπ

Funzioni esponenziali e logaritmiche

 

 

 

 

Le potenze

 

Le potenze sono una scrittura abbreviata per moltiplicazioni tra lo stesso numero.

25 equivale a scrivere 2x2x2x2x2

 

Le potenze sono sempre positive tranne nel caso in cui si eleva un qualsiasi numero negativo con esponente dispari.

 

25=32              2x2x2x2x2=32

-24=16             -2x-2x-2x-2=16

-25=-32             -2x-2x-2x-2x-2=-32

 

Un qualsiasi numero diverso da 0 elevato a 0 è uguale a 1.

 

  • Il prodotto di due potenze aventi la stessa base è una potenza avente come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.

 

  • Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza avente come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.

 

  • La potenza di una potenza è ancora una volta una potenza avente come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti.

 

  • Il prodotto di potenze aventi basi diverse ma esponenti uguali è una potenza che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente.

 

  • Il quoziente di potenze aventi basi diverse e uguali esponenti è una potenza che come base al quoziente delle basi e come esponente lo stesso esponente.

 

Le funzioni esponenziali

 

Le funzione esponenziali sono quelle dove compare la come esponente.

E’ una funzione ne pari ne dispari il cui dominio è

Se si disegna il grafico su di un piano cartesiano si ottiene una iperbole equilatera.

 

 

(-∞, +∞)

I logaritmi

 

Il logaritmo in base a di b [Loga(b)] è quel numero c tale per cui a elvato a c è ugale a b.

Loga(b) = c tale che ac=b  con

 

Rispettivamente si chiamano

a, base del logaritmo

b, argomento del logaritmo

c, valore del logaritmo

 

 

 

 

Le proprietà dei logaritmi

 

  • Il logaritmo del prodotto è la somma dei logaritmi.

 

a≠ 1 ∧ b > 0
  • Qualsiasi esponente prenda l'argomento del logaritmo è possibile trasformarlo in un coefficiente (portandolo davanti).

 

  • Il logaritmo del rapporto è la differenza dei logaritmi.

 

  • Formula del cambiamento di base.

 

Il grafico della funzione logaritmica

 

Equazioni esponenziali

 

Sono equazioni esponenziali quelle in cui l’incognita compare come potenza di qualcosa.

 

Per risolvere si segue questo procedimento:

 

Se è riducibile ad un forma in cui tutti gli elementi hanno la stessa base:

  • Scrivo sotto forma di potenza tutto quello che mi è possibile trasformare.
  • Eseguo le operazioni tra gli esponenti che ottengo.
  • Considero adesso solo gli esponenti come equazione di primo grado e la risolvo.

INTERAMENTE REALIZZATO DA MATTIA BONZI